Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью

Создано: @nick 31 августа 2019 19:56

В треугольной пирамиде MABC основанием является правильный треугольник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MA равно 6. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM точка L. Известно, что AD=AL=2, и BE=1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E,D и L.

Оцените сложность задачи:

0 голосов, средняя сложность: 0.0000

Решения задачи

Создано: @nick 1 сентября 2019 20:54

поставьте оценку:

0 голосов, средний бал: 0.0000

Изобразим условие задачи на рисунке

Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью

Рассматривая треугольники ABC и ADE находим

$ ∆ABC ∾ ∆ADE ⇒ DE=AD=2 $

Рассматривая прямоугольный треугольник AMB находим с помощью теоремы Пифагора

$ MB=\sqrt{AM^{2}-AB^{2}}=MB=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=5 $

Рассматривая треугольник AMB находим

$ sinα = \frac{MB}{AM}=\frac{5}{6} $

Рассматривая треугольник ALE находим

$ sin(\frac{α}{2})=\frac{NE}{AE}=\frac{\frac{1}{2}LE}{AE} $

Откуда

$ LE = 2AEsin(\frac{α}{2}) $

$ α = arcsinα=0,9851 рад $

Тогда

$ sin(\frac{α}{2}) = 0,472858 $

$ LE = 2AEsin(\frac{α}{2})=2×2×0,472858=1,8914 $

Рассматривая треугольник AMC находим

$ cosβ = \frac{AK}{AM}=\frac{\frac{AC}{2}}{AM}=\frac{\frac{3}{2}}{6}=\frac{1}{4} $

Откуда

$ β = arccosβ = 0,9689 рад $

Рассматривая треугольник ADL находим

$ sin(\frac{β}{2}) = \frac{LF}{AL}=\frac{\frac{DL}{2}}{AL} $

Откуда

$ DL = 2ALsin(\frac{β}{2}) = 2×2sin(0,48445621)=1,8629 $

Таким образом найдены все стороны треугольника сечения. Его площадь находим по формуле Герона

$ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $

Где

$ p = \frac{a+b+c}{2}=\frac{2+1,8914+1,8629}{2}=2,877 $

Тогда

$ S_{∆EDL} = \sqrt{2,877(0,877)(0,986)(1,014‬)}=1,588 $

Ответ: площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E,D и L

$ S_{∆EDL} = 1,588 $

Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью

Комментарии

Решения задачи

Комментарии