Две окружности внутренне касаются друг друга в точке А, АВ - диаметр большей окружности. Хорда BM большей окружности касается меньшей окружности в точке C, прямая AC пересекает большую окружность в точке D. Известно, что BC=4, CM=2,4. Найти радиусы окружностей и длину хорды AD.

Оцените сложность задачи:
0 голосов, средняя сложность: 0.0000

Решения задачи

Создано: @nick 18 августа 2017 21:49
поставьте оценку:
0 голосов, средний бал: 0.0000

Данные задачи: две окружности внутренне касаются друг друга в точке А

Диаметр большей окружностиАВ 
Хорда большей окружности касается меньшей окружности в точке CBM
прямая пересекает большую окружность в точке DAC
BC4
CM2,4
Радиус большей окружности$r_{1}$?
Радиус меньшей окружности$r_{2}$?
AD?
Изобразим на рисунке условия задачи

Изобразим на рисунке условия задачи

Диаметры большой и малой окружностей - AB и AG, тогда

$ ⦟AMB = ⦟AFG = 90° $

Так как опирается на полуокружность

По двум углам

$ ∆AMB ∾ ∆AFG $

Тогда

$ \frac{MB}{GF} = \frac{AB}{GA} = \frac{AM}{AF} $

Так как

$ GF = 2 MC = 2 × 2,4 = 4,8 $

Тогда

$ \frac{2,4+4}{4,8} = \frac{2r_{1}}{2r_{2}} $

Откуда находим

$ r_{1} = \frac{6,4}{4,8}r_{2} = 1,33 r_{2} $

Из прямоугольного треугольника BCO2 по теореме Пифагора

$ (BO_{2})^{2}=(CO_{2})^{2}+(CB)^{2} $

Подставив значения

$ (2 r_{1}-r_{2})^{2}=(r_{2})^{2}+(4)^{2} $

или

$ (2 × 1,33 r_{2}-r_{2})^{2}=(r_{2})^{2}+16 $

формула 10

$ (1,66 r_{2})^{2}=(r_{2})^{2}+16 $

Откуда находим

$ r_{2} = \sqrt{\frac{16}{0,66}}=4,92 $

и

$ r_{1} = 1,33 r_{2} = 1,33 × 4,92 = 6,54 $

Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд

$ BM ∩ AD = C $

и

$ BC × CM = AC × CD $

Из прямоугольного треугольника AMB находим

$ AM = \sqrt{(AB)^{2}-(BM)^{2}}=\sqrt{(13,08)^{2}-(6,4)^{2}}=11,41 $

Из прямоугольного треугольника AMC находим

$ AC = \sqrt{(CM)^{2}+(AM)^{2}}=\sqrt{(2,4)^{2}+(11,41)^{2}}=11,66 $

Подставляем значения в уравнение

$ 4 × 2,4 = 11,66 × CD $

Откуда находим

$ CD = \frac{4 × 2,4}{11,66}=0,82 $

и

$ AD = AC+CD = 11,66 + 0,82 = 12,48 $

Ответ:

$ Радиусы большой и малой окружности 6,54 и 4,92 $

$ Длина хорды AD равна 12,48 $

Чтобы предложить решение пожалуйста войдите или зарегистрируйтесь

Записать новую задачу Все задачи Все темы Все геометры