Найти радиусы окружностей и длину хорды ADТема задачи: Нет подходящей темы Создано: @tomochka 26 декабря 2015 21:50Две окружности внутренне касаются друг друга в точке А, АВ - диаметр большей окружности. Хорда BM большей окружности касается меньшей окружности в точке C, прямая AC пересекает большую окружность в точке D. Известно, что BC=4, CM=2,4. Найти радиусы окружностей и длину хорды AD. Решения задачи
Данные задачи: две окружности внутренне касаются друг друга в точке А
Изобразим на рисунке условия задачи Диаметры большой и малой окружностей - AB и AG, тогда
$ ⦟AMB = ⦟AFG = 90° $ Так как опирается на полуокружность По двум углам
$ ∆AMB ∾ ∆AFG $ Тогда
$ \frac{MB}{GF} = \frac{AB}{GA} = \frac{AM}{AF} $ Так как
$ GF = 2 MC = 2 × 2,4 = 4,8 $ Тогда
$ \frac{2,4+4}{4,8} = \frac{2r_{1}}{2r_{2}} $ Откуда находим
$ r_{1} = \frac{6,4}{4,8}r_{2} = 1,33 r_{2} $ Из прямоугольного треугольника BCO2 по теореме Пифагора
$ (BO_{2})^{2}=(CO_{2})^{2}+(CB)^{2} $ Подставив значения
$ (2 r_{1}-r_{2})^{2}=(r_{2})^{2}+(4)^{2} $ или
$ (2 × 1,33 r_{2}-r_{2})^{2}=(r_{2})^{2}+16 $ формула 10
$ (1,66 r_{2})^{2}=(r_{2})^{2}+16 $ Откуда находим
$ r_{2} = \sqrt{\frac{16}{0,66}}=4,92 $ и
$ r_{1} = 1,33 r_{2} = 1,33 × 4,92 = 6,54 $ Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд
$ BM ∩ AD = C $ и
$ BC × CM = AC × CD $ Из прямоугольного треугольника AMB находим
$ AM = \sqrt{(AB)^{2}-(BM)^{2}}=\sqrt{(13,08)^{2}-(6,4)^{2}}=11,41 $ Из прямоугольного треугольника AMC находим
$ AC = \sqrt{(CM)^{2}+(AM)^{2}}=\sqrt{(2,4)^{2}+(11,41)^{2}}=11,66 $ Подставляем значения в уравнение
$ 4 × 2,4 = 11,66 × CD $ Откуда находим
$ CD = \frac{4 × 2,4}{11,66}=0,82 $ и
$ AD = AC+CD = 11,66 + 0,82 = 12,48 $ Ответ:
$ Радиусы большой и малой окружности 6,54 и 4,92 $
$ Длина хорды AD равна 12,48 $ КомментарииЧтобы предложить решение пожалуйста войдите или зарегистрируйтесь |
Записать новую задачу Все задачи Все темы Все геометры |
Комментарии