Найти S основания и S боковой поверхности и объём правильной n-угольной пирамиды

Если n=3,высота пирамиды H,боковое ребро образует с основанием угол альфа

Оцените сложность задачи:

0 голосов, средняя сложность: 0.0000

Решения задачи

поставьте оценку:

1 голосов, средний бал: 5.0000

Данные задачи: правильная трехгранная пирамида

Количество боковых граней

Высота пирамиды

Угол наклона бокового ребра к основанию

Площадь основания

S_{осн}

Площадь боковой поверхности

S_{б}

Объем пирамиды

Изобразим графически условие задачи

В прямоугольном треугольнике OSB:

$ sin(α) = \frac{OS}{BS} = \frac{h}{BS} $

Откуда находим длину бокового ребра пирамиды

$ BS = \frac{h}{sin(α)} $

$ cos(α) = \frac{OB}{BS} = \frac{OB}{\frac{h}{sin(α)}} $

Откуда находим

$ OB = OA = OC = \frac{h}{tg(α)} $

В прямоугольном треугольнике AOD:

$ \frac{OD}{OA} = sin(\frac{π}{6}) = \frac{1}{2} $

Откуда находим

$ OD = OA\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\frac{h}{tg(α)} $

$ \frac{\frac{a}{2}}{OA} = cos(\frac{π}{6}) = $

Откуда находим

$ a = OA cos(\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}h}{tg(α)} $

Находим площадь основания пирамиды

$ S_{осн} = \frac{1}{2}a(OB+OD)=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}h}{tg(α)}(\frac{3}{2}\frac{h}{tg(α)})=\frac{3\sqrt{3}h^{2}}{4(tg(α))^{2}} $

Находим площадь боковой поверхности

$ S_{б} = 3\frac{1}{2}a(SD)=3\frac{1}{2}a\sqrt{h^{2}+(OD)^{2}}=\frac{3}{2}\frac{\sqrt{3}h}{tg(α)}\sqrt{h^{2}+( \frac{1}{2}\frac{h}{tg(α)})^{2}} $

Находим объем пирамиды

$ V = \frac{hna}{12tg(\frac{180}{n})}=a\frac{hn}{12\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}h}{tg(α)}\frac{hn}{12\sqrt{3}}=\frac{nh^{2}}{12tg(α)} $