Найти S основания и S боковой поверхности и объём правильной n-угольной пирамидыТема задачи: Нахождение площадей фигур Создано: @mustik 23 марта 2016 20:26Если n=3,высота пирамиды H,боковое ребро образует с основанием угол альфа Решения задачи
Данные задачи: правильная трехгранная пирамида
Изобразим графически условие задачи В прямоугольном треугольнике OSB:
$ sin(α) = \frac{OS}{BS} = \frac{h}{BS} $ Откуда находим длину бокового ребра пирамиды
$ BS = \frac{h}{sin(α)} $ и
$ cos(α) = \frac{OB}{BS} = \frac{OB}{\frac{h}{sin(α)}} $ Откуда находим
$ OB = OA = OC = \frac{h}{tg(α)} $ В прямоугольном треугольнике AOD:
$ \frac{OD}{OA} = sin(\frac{π}{6}) = \frac{1}{2} $ Откуда находим
$ OD = OA\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\frac{h}{tg(α)} $ и
$ \frac{\frac{a}{2}}{OA} = cos(\frac{π}{6}) = $ Откуда находим
$ a = OA cos(\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}h}{tg(α)} $ Находим площадь основания пирамиды
$ S_{осн} = \frac{1}{2}a(OB+OD)=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}h}{tg(α)}(\frac{3}{2}\frac{h}{tg(α)})=\frac{3\sqrt{3}h^{2}}{4(tg(α))^{2}} $ Находим площадь боковой поверхности
$ S_{б} = 3\frac{1}{2}a(SD)=3\frac{1}{2}a\sqrt{h^{2}+(OD)^{2}}=\frac{3}{2}\frac{\sqrt{3}h}{tg(α)}\sqrt{h^{2}+( \frac{1}{2}\frac{h}{tg(α)})^{2}} $ Находим объем пирамиды
$ V = \frac{hna}{12tg(\frac{180}{n})}=a\frac{hn}{12\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}h}{tg(α)}\frac{hn}{12\sqrt{3}}=\frac{nh^{2}}{12tg(α)} $ КомментарииЧтобы предложить решение пожалуйста войдите или зарегистрируйтесь |
Записать новую задачу Все задачи Все темы Все геометры |
Комментарии