NICK @nick

NICK Решения

0 Прислал задач
16 Написал решений
5.0000 Средний балл за решения

Все решения геометра NICK

Найти диагональ параллелограмма
Создано: @nick 25 августа 2017 07:35
поставьте оценку:
0 голосов, средний бал: 0.0000

Данные задачи: параллелограмм ABCD

ПериметрP50
Угол ADBпрямой
Разность сторон AB и BC3
Диагональ BD?

Периметр параллелограмма ABCD

$ P = 2 AB +2 BC $

Но

$ AB - BC = 3 $

Откуда

$ AB = 3 + BC $

Тогда

$ P = 2 (3 + BC) + 2BC = 50 $

Откуда

$ BC = \frac{50-6}{4} = \frac{27}{2} $

и

$ AB = 3 + BC = 3 + \frac{27}{2} = \frac{33}{2} $

Из треугольника ABD по теореме Пифагора находим

$ BD = \sqrt{(AB)^{2}-(BC)^{2}} = 3\sqrt{10} $
Найти длину гипотенузы
Создано: @nick 24 августа 2017 20:14
поставьте оценку:
0 голосов, средний бал: 0.0000

Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника проведен перпендикуляр ...

ОтрезокMK3
ОтрезокKN9
Длина гипотенузыBC=2BM=2MC?
Изобразим на рисунке условия задачи

Изобразим на рисунке условия задачи

Прямоугольные треугольники ABC, KBM и MNC подобны так как

$ ⦟C ∈ ∆ABC и ∆NMC $

и углы образованные взаимно перпендикулярными сторонами

$ ⦟MNC = ⦟ABC = β $

как углы образованные взаимно перпендикулярными сторонами

$ ⦟BKM = ⦟BCA $

Из треугольника KBM

$ tg(β) = \frac{KM}{BM} $

Из треугольника NMC

$ tg(β) = \frac{MC}{MN} $

Приравниваем правые части уравнений

$ \frac{KM}{BM} = \frac{MC}{MN} $

Откуда находим

$ BM = \sqrt{(KM)(MN)}=\sqrt{(3)(3+9)}=6 $

И окончательно

$ BC = 2(BM) = 2 × 6 = 12 $

Ответ:

$ Длина гипотенузы равна 12 $
Найти площадь треугольника
Создано: @nick 22 августа 2017 20:02
поставьте оценку:
0 голосов, средний бал: 0.0000

Данные задачи: треугольник ABC на расходящихся прямых

Площадь треугольника начальная$S$
Периметр $P$
Стороны расходятся на расстояние $h$
Площадь треугольника увеличенная$S_{1}$?
Изобразим на рисунке условия задачи

Изобразим на рисунке условия задачи

Треугольники ABC и A1B1C1 подобны так как

$ ⦟A = A_{1}; ⦟B = ⦟ B_{1}; ⦟C = ⦟C_{1} $

и

$ \frac{AB}{A_{1}B_{1}} = \frac{BC}{B_{1}C_{1}} = \frac{CA}{C_{1}A_{1}} = k $

Площадь треугольника начальная

$ S = \frac{1}{2}ch_{н} $

Площадь треугольника увеличенная

$ S_{1} = \frac{1}{2}c_{1}h_{1} $

Разделим первое уравнение на второе

$ \frac{S}{S_{1}} = \frac{c}{c_{1}} × \frac{h_{н}}{h_{1}} = k × k = k^{2} $

Откуда находим

$ S_{1} = \frac{S}{k^{2}} $

Ответ:

$ Площадь треугольника увеличенная равна \frac{S}{k^{2}} $
Найти длину третьей стороны треугольника
Создано: @nick 21 августа 2017 19:07
поставьте оценку:
0 голосов, средний бал: 0.0000

Данные задачи: в два треугольника вписаны окружности

Сторона треугольника$a_{1}$17
Сторона треугольника$b_{1}$25
Сторона треугольника$c_{1}$26
Сторона треугольника$a_{2}$17
Сторона треугольника$b_{2}$25
Радиус вписанной окружности$r_{1}=r_{2}$
Сторона треугольника$c_{2}$?
Изобразим на рисунке условия задачи

Изобразим на рисунке условия задачи

Воспользуемся теоремой: $В любой треугольник можно вписать окружность и при том только одну$

Уравнение вписанной окружности

$ r = \frac{S}{p} $

Где:

$ r - радиус вписанной окружности; $

$ S - площадь треугольника $

и

$ p - полупериметр $

Находим

$ p_{1} = \frac{a_{1}+b_{1}+c_{1}}{2}=\frac{17+25+26}{2}=34 $

Так как r1=r2, то

$ p_{2} = \frac{a_{2}+b_{2}+c_{2}}{2}=\frac{17+25+x}{2}=34 $

Откуда находим

$ x = 2 × 34 -17 - 25 = 26 $

Ответ:

$ Длина третьей стороны c_{2} = 26 $
Найти радиусы окружностей и длину хорды AD
Создано: @nick 18 августа 2017 21:49
поставьте оценку:
0 голосов, средний бал: 0.0000

Данные задачи: две окружности внутренне касаются друг друга в точке А

Диаметр большей окружностиАВ 
Хорда большей окружности касается меньшей окружности в точке CBM
прямая пересекает большую окружность в точке DAC
BC4
CM2,4
Радиус большей окружности$r_{1}$?
Радиус меньшей окружности$r_{2}$?
AD?
Изобразим на рисунке условия задачи

Изобразим на рисунке условия задачи

Диаметры большой и малой окружностей - AB и AG, тогда

$ ⦟AMB = ⦟AFG = 90° $

Так как опирается на полуокружность

По двум углам

$ ∆AMB ∾ ∆AFG $

Тогда

$ \frac{MB}{GF} = \frac{AB}{GA} = \frac{AM}{AF} $

Так как

$ GF = 2 MC = 2 × 2,4 = 4,8 $

Тогда

$ \frac{2,4+4}{4,8} = \frac{2r_{1}}{2r_{2}} $

Откуда находим

$ r_{1} = \frac{6,4}{4,8}r_{2} = 1,33 r_{2} $

Из прямоугольного треугольника BCO2 по теореме Пифагора

$ (BO_{2})^{2}=(CO_{2})^{2}+(CB)^{2} $

Подставив значения

$ (2 r_{1}-r_{2})^{2}=(r_{2})^{2}+(4)^{2} $

или

$ (2 × 1,33 r_{2}-r_{2})^{2}=(r_{2})^{2}+16 $

формула 10

$ (1,66 r_{2})^{2}=(r_{2})^{2}+16 $

Откуда находим

$ r_{2} = \sqrt{\frac{16}{0,66}}=4,92 $

и

$ r_{1} = 1,33 r_{2} = 1,33 × 4,92 = 6,54 $

Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд

$ BM ∩ AD = C $

и

$ BC × CM = AC × CD $

Из прямоугольного треугольника AMB находим

$ AM = \sqrt{(AB)^{2}-(BM)^{2}}=\sqrt{(13,08)^{2}-(6,4)^{2}}=11,41 $

Из прямоугольного треугольника AMC находим

$ AC = \sqrt{(CM)^{2}+(AM)^{2}}=\sqrt{(2,4)^{2}+(11,41)^{2}}=11,66 $

Подставляем значения в уравнение

$ 4 × 2,4 = 11,66 × CD $

Откуда находим

$ CD = \frac{4 × 2,4}{11,66}=0,82 $

и

$ AD = AC+CD = 11,66 + 0,82 = 12,48 $

Ответ:

$ Радиусы большой и малой окружности 6,54 и 4,92 $

$ Длина хорды AD равна 12,48 $
Указать расстояние между точками C и D, если AD= 2 корень из 3 см
Создано: @nick 15 августа 2017 21:12
поставьте оценку:
0 голосов, средний бал: 0.0000

Данные задачи: равностронние треугольники ABC и ABD

Угол между плоскостями равносторонних треугольниковα60 град
Расстояние между точками ADa$2\sqrt{3}$
Определить расстояние между точками CD|CD|?
Изобразим на рисунке условия задачи

Изобразим на рисунке условия задачи

В прямоугольном треугольнике AMC

$ (BC)^{2} = (BM)^{2}+(CM)^{2} $

Откуда находим

$ CM = \sqrt{(BC)^{2}-(BM)^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=3 $

В прямоугольном треугольнике OMC

$ \frac{OM}{MC} = cos{α} $

и

$ \frac{OC}{MC} = sin(α) $

Откуда находим

$ OM = (MC)cos(α)=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2} $

и

$ OC = (MC)sin(α)=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2} $

В прямоугольном треугольнике AMD

$ (AD)^{2} = (MD)^{2}+(AM)^{2} $

Откуда находим

$ (MD) = \sqrt{(AD)^{2}-(AM)^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=3 $

и

$ OD = MD-OM = 3- \frac{3}{2}=\frac{3}{2} $

В прямоугольном треугольнике OCD

$ CD = \sqrt{(OC)^{2}+(OD)^{2}}=\sqrt{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{3}{2})^{2}}=3 $

Ответ:

$ расстояние между точками CD равно 3 $
Найти S основания и S боковой поверхности и объём правильной n-угольной пирамиды
Создано: @nick 11 августа 2017 19:36
поставьте оценку:
1 голосов, средний бал: 5.0000

Данные задачи: правильная трехгранная пирамида

Количество боковых гранейn3
Высота пирамидыH
Угол наклона бокового ребра к основаниюα
Площадь основанияS_{осн}?
Площадь боковой поверхностиS_{б}?
Объем пирамидыV?
Изобразим графически условие задачи

Изобразим графически условие задачи

В прямоугольном треугольнике OSB:

$ sin(α) = \frac{OS}{BS} = \frac{h}{BS} $

Откуда находим длину бокового ребра пирамиды

$ BS = \frac{h}{sin(α)} $

и

$ cos(α) = \frac{OB}{BS} = \frac{OB}{\frac{h}{sin(α)}} $

Откуда находим

$ OB = OA = OC = \frac{h}{tg(α)} $

В прямоугольном треугольнике AOD:

$ \frac{OD}{OA} = sin(\frac{π}{6}) = \frac{1}{2} $

Откуда находим

$ OD = OA\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\frac{h}{tg(α)} $

и

$ \frac{\frac{a}{2}}{OA} = cos(\frac{π}{6}) = $

Откуда находим

$ a = OA cos(\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}h}{tg(α)} $

Находим площадь основания пирамиды

$ S_{осн} = \frac{1}{2}a(OB+OD)=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}h}{tg(α)}(\frac{3}{2}\frac{h}{tg(α)})=\frac{3\sqrt{3}h^{2}}{4(tg(α))^{2}} $

Находим площадь боковой поверхности

$ S_{б} = 3\frac{1}{2}a(SD)=3\frac{1}{2}a\sqrt{h^{2}+(OD)^{2}}=\frac{3}{2}\frac{\sqrt{3}h}{tg(α)}\sqrt{h^{2}+( \frac{1}{2}\frac{h}{tg(α)})^{2}} $

Находим объем пирамиды

$ V = \frac{hna}{12tg(\frac{180}{n})}=a\frac{hn}{12\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}h}{tg(α)}\frac{hn}{12\sqrt{3}}=\frac{nh^{2}}{12tg(α)} $
Найти расстояние от точки А до плоскости α
Создано: @nick 10 августа 2017 20:10
поставьте оценку:
1 голосов, средний бал: 5.0000

Пример текста

Данные задачи: Из точки А к плоскости α проведены две наклонные

Наклонная ABx+1см
НаклоннаяACx
Проекция наклонной ABBD5см
Проекция наклонной ACCD2см
Расстояние от точки А до плоскости αh=AD?
Изобразим на рисунке условия задачи

Изобразим на рисунке условия задачи

Из прямоугольного треугольника ACD

$ (AD)^{2} = (AC)^{2}-(CD)^{2}=x^{2}-2^{2} $

Из прямоугольного треугольника ABD

$ (AD)^{2} = (AВ)^{2}-(BD)^{2}=(x+1)^{2}-5^{2} $

Тогда

$ x^{2}-2^{2} = (x+1)^{2}-5^{2} $

или

$ x^{2}-4 = x^{2}+2x+1-25 $

Откуда находим

$ x = \frac{20}{2}=10 $

Тогда

$ AC = x = 10 см $

и

$ AB = x+1 = 10+1 = 11 см $

Находим расстояние, например из треугольника ABD

$ h = AD = \sqrt{(AB)^{2}-(BD)^{2}}=\sqrt{11^{2}-5^{2}}=\sqrt{96} см $

Ответ:

$ Расстояние от точки А до плоскости α равно \sqrt{96} см $
Найти площадь равнобедренного треугольника
Создано: @nick 10 августа 2017 07:52
поставьте оценку:
0 голосов, средний бал: 0.0000

Данные задачи: равнобедренный треугольник

Радиус описанной окружностиR17
Высота, проведенная к основанию BD=h25
Площадь треугольника?
Изобразим на рисунке условия задачи

Изобразим на рисунке условия задачи

Треугольник равнобедренный, поэтому центр описанной окружности

$ O ∈ BD $

$ OA = OB = R = 17 $

$ OD = BD - OA = 25 - 17 = 8 $

По теореме Пифагора

$ AD = \sqrt{(OA)^{2}-(OD)^{2}}=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=15 $

$ b = AC = 2AD = 2 × 15 = 30 $

Тогда

$ S = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}30×25 = 375 $

Ответ:

$ Площадь треугольника равна 375 $
Найти периметр параллелограмма
Создано: @nick 9 августа 2017 08:47
поставьте оценку:
0 голосов, средний бал: 0.0000

Данные задачи:

ПараллелограммABCD
Биссектриса ⦟BBE
CE3см
DE2см
P_{ABCD}?
Изобразим на рисунке условия задачи

Изобразим на рисунке условия задачи

Так как, BE - биссектриса угла при вершине B, то

$ ⦟1 = ⦟2 $

Углы 2 и 3 накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BE, следовательно

$ ⦟2 = ⦟3 $

По признаку равенства углов при основании BE

$ ∆BCE - равнобедренный $

Следовательно

$ BC = CE = 3 см $

Периметр параллелограмма

$ P_{ABCD} = 2(BC+(CE+ED))=2(3+(3+2))=16 см $

Ответ:

$ Периметр параллелограмма равен 16 см $
Даны вершины треугольника АВС. Найти: 1)Длину стороны АВ. 2) внутренний угол А в радианах с точностью до двух знаков после запят
Создано: @nick 7 августа 2017 19:15
поставьте оценку:
0 голосов, средний бал: 0.0000

Изобразим на рисунке условия задачи

Изобразим на рисунке условия задачи

Длина стороны треугольника находится по формуле

$ |AB| = \sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}} $

подставляем в формулу значения координат

$ |AB| = \sqrt{(7+5)^{2}+(-2-7)^{2}}=\sqrt{(12)^{2}+(-9)^{2}}=15 $

Чтобы найти угол A, необходимо узнать длину стороны AC

$ |AC| = \sqrt{(11+5)^{2}+(20-7)^{2}}=\sqrt{(16)^{2}+(13)^{2}}=20,61 $

формула 4

$ \vect{AB} = (7+5; -2-7)=(12; -9) $

формула 5

$ \vect{AC} = (11+5; 20-7)=(16; 13) $

формула 6

$cos(⦟A)=cos(\vect{AB}^\vect{AC})=\frac{\vect{AB}×\vect{AC}}{|AB|×|AC|}=\frac{12×16+(-9)×13}{15×20,61}=0,24$

формула 7

$ ⦟A = arccos(⦟A)=arccos(0.24)=1,33 рад $

Переводим радианы в градусы

$ ⦟A = \frac{0,90×180}{3,14}=76.24° $

Находим координаты точки M

$ x_{M} = \frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{-5+7}{2}=1 $

и

$ y_{M} = \frac{7+(-2)}{2}=2,5 $

$ M(1; 2,5) $

Уравнение прямой через две точки (медианы CM)

$ CM = \frac{x-x_{C}}{x_{M}-x_{C}}=\frac{y-y_{C}}{y_{M}-y_{C}} $

подставив значения координат, получаем

$ \frac{x-11}}{1-11}=\frac{y-20}}{\frac{5}{2}-20} $

Откуда находим

$ y=(x-11)(5-40)=-20(y-20) $

Раскрываем скобки

$ -35x+385=-20y+400 $

Откуда находим

$ 20y-35x-15=0 $

Делим левую и правую части уравнения на 5

$ 4y-7x-3=0 $

Ответ:

$ Длина стороны AB равна 15; $

$ Внутренний угол при вершине A равен 76,24°; $

$ Уравнение медианы CM: y=\frac{7}{4}x+\frac{3}{4}. $
Определить боковую поверхность цилиндра
Создано: @nick 6 августа 2017 21:36
поставьте оценку:
0 голосов, средний бал: 0.0000

Изобразим на рисунке условия задачи

Изобразим на рисунке условия задачи

Составим уравнение боковой поверхности цилиндра

$ S_{б} = 2πRH $

Рассматривая половину треугольника в основании цилиндра, находим

$ sin(\frac{α}{2}) = \frac{\frac{a}{2}}{R} $

Откуда находим радиус цилиндра

$ R = \frac{\frac{a}{2}}{sin(\frac{α}{2})} $

и

$ |O_{1}M| = Rcos(\frac{α}{2})=\frac{acos(\frac{α}{2})}{2sin(\frac{α}{2})}=\frac{a}{2tg(\frac{α}{2})} $

Рассматривая треугольник O1O2M

$ tg(φ) = \frac{H}{O_{1}M} $

Откуда находим высоту цилиндра

$ H = (O_{1}M)tg(φ)=\frac{atg(φ)}{2tg(\frac{α}{2})} $

Подставляем найденные значения радиуса и высоты

$ S_{б} = 2π\frac{\frac{a}{2}}{sin(\frac{α}{2})}\frac{atg(φ)}{2tg(\frac{α}{2})}=\frac{πa^{2}tg(φ)}{2sin(\frac{α}{2})tg(\frac{α}{2})} $
Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треуголника АВС с прямым углом С
Создано: @nick 5 августа 2017 19:28
поставьте оценку:
1 голосов, средний бал: 5.0000

Изобразим на рисунке условия задачи a)

Изобразим на рисунке условия задачи a)

Составляем уравнение длины гипотенузы прямоугольного треугольника

$ |AB| = \sqrt{(AC)^{2}+(BC)^{2}} $

Откуда находим

$ |AC|=\sqrt{(AB)^{2}-(BC)^{2}}=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=15 $

Тогда:

$ sin(A) = \frac{AC}{AB}=\frac{15}{17}; $

$ cos(A) = \frac{BC}{AB}=\frac{8}{17} $

и

$ tg(A) = \frac{sin(A)}{cos(A)}=\frac{\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}}=\frac{15}{8} $
Написать уравнение медианы mА, проведенной из вершины А.
Создано: @nick 5 августа 2017 17:19
поставьте оценку:
0 голосов, средний бал: 0.0000

Изобразим на рисунке условия задачи

Изобразим на рисунке условия задачи

Находим координаты точки M

$ M_{x} = \frac{x_{B}+x_{C}}{2}=\frac{4+8}{2}=6 $

и

$ M_{y} = \frac{y_{B}+y_{C}}{2}=\frac{10+2}{2}=6 $

Координаты точки M

$ M(6, 6) $

Уравнение прямой по двум точкам

$ \frac{x-x_{A}}{x_{M}-x_{A}} = \frac{y-y_{A}}{y_{M}-y_{A}} $

Подставляем значения

$ \frac{x-(-1)}{6-(-1)} = \frac{y-(-1)}{6-(-1)} $

или

$ \frac{x+1}{6+1} = \frac{y+1}{6+1} $

Откуда находим

$ y={6+1}\frac{x+1}{6+1}-1=x $

Ответ:

$ уравнение медианы: y = x $
Вычисление объема фигуры по переменным данным
Создано: @nick 5 августа 2017 09:32
поставьте оценку:
0 голосов, средний бал: 0.0000

Ребро жесткости представляет собой прямоугольную пластину толщиной S, в которой вырезаны два треугольника, отсюда

$ V = S[LH-\frac{1}{2}(a^{2}+(L-b)(H-b_{1}))] $
Записать новую задачу Все задачи Все темы Все геометры